Objectif : manipuler sans stress les vecteurs, normes, produits scalaires / vectoriels
et aire d’un triangle.
Tips : lis bien l’énoncé, prends ton temps, et vérifie ton résultat avant de cliquer.
TD interactif – Manipulation des outils mathématiques
Consigne : réponds dans les champs, clique sur « Vérifier », puis, si besoin, sur « Correction détaillée ».
Mini-labo – Vecteurs en 3D
Manipule deux vecteurs \( \vec{u} = (x_1, y_1, z_1) \) et \( \vec{v} = (x_2, y_2, z_2) \).
Observe la norme, le produit scalaire, l’angle et la norme du produit vectoriel.
Idée simple : la longueur de la somme de deux vecteurs
ne peut jamais dépasser la somme des longueurs.
C’est la fameuse inégalité triangulaire :
\[
\|\vec{u} + \vec{v}\| \le \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|.
\]
👉 Elle est toujours vraie, dans n’importe quelle dimension.
👉 L’égalité n’est vraie que si les deux vecteurs ont même direction et même sens.
On donne \( \overrightarrow{OA} = (3, 4, 0) \) et \( \overrightarrow{OB} = (1, -2, 0) \).
On pose \( \vec{w} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \).
Quel est le vecteur unitaire \( \vec{u} \) porté par \( \vec{w} \) ?
On applique directement la formule :
\[
\vec{u}\cdot\vec{v}
= 1\times(-1) + 2\times 0 + 3\times 4.
\]
Calcul :
\[
-1 + 0 + 12 = 11.
\]
👉 Le produit scalaire vaut \(11\).
Q4.5 – Angle entre deux vecteurs
On sait que :
\( \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta \).
Si \( \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \) et que les deux vecteurs sont non nuls, que vaut l’angle \( \theta \) ?
\( \theta = 0^\circ \)
\( \theta = 45^\circ \)
\( \theta = 90^\circ \)
Impossible à déterminer
Si \( \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \), alors :
\[
\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta = 0
\]
comme les normes sont non nulles :
\[
\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 90^\circ
\]
Les vecteurs sont donc orthogonaux.
Q5 – Orthogonalité : situation concrète
Un sprinteur pousse sur son bloc de départ avec une force
\( \vec{F} = (500,\,0,\,0) \) N (horizontale),
tandis que la réaction normale du bloc est
\( \vec{N} = (0,\,700,\,0) \) N (verticale).
Peut-on dire que \( \vec{F} \) et \( \vec{N} \) sont orthogonaux ?
Oui, car leur produit scalaire vaut 0.
Non, car ils ne sont pas opposés.
Impossible sans connaître les normes.
Non, car ce ne sont pas des forces de même nature.
On calcule le produit scalaire :
\[
\vec{F}\cdot\vec{N} = 500\times 0 + 0\times700 + 0\times 0 = 0.
\]
Donc l’angle est tel que :
\[
\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 90^\circ.
\]
👉 Les forces sont orthogonales.
✔ Bonne réponse : a.
Q6 – Produit vectoriel : composantes
On considère \( \vec{u} = (1,0,0) \) et \( \vec{v} = (0,1,0) \).
Rappel (idée déterminant) :
\[
\vec{u}\wedge\vec{v} =
\begin{pmatrix}
u_x \\ u_y \\ u_z
\end{pmatrix}
\wedge
\begin{pmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z
\end{pmatrix}
\]
Donne les composantes de \( \vec{u}\wedge\vec{v} \).
\( \vec{u}\wedge\vec{v} = ( \)
,
,
\( ) \)
Formule générale :
\[
\vec{u}\wedge\vec{v}
= (u_y v_z - u_z v_y,\;
u_z v_x - u_x v_z,\;
u_x v_y - u_y v_x).
\]
Avec :
\[
\vec{u} = (1,0,0), \qquad \vec{v} = (0,1,0),
\]
on obtient :
\[
\vec{u}\wedge\vec{v} = (0,0,1).
\]
👉 Le produit vectoriel vaut \( (0,0,1) \).
Q6.5 – Sens du produit vectoriel : règle de la main droite
Avec \( \vec{u} = (1,0,0) \) et \( \vec{v} = (0,1,0) \), on a obtenu :
\( \vec{u}\wedge\vec{v} = (0,0,1). \)
Pourquoi le résultat pointe-t-il vers \( +z \) et pas vers \( -z \) ?
C’est arbitraire, on choisit comme on veut.
Parce que la règle de la main droite impose ce sens.
Parce que 1 + 1 = 2, donc z est positif.
Parce que les vecteurs sont colinéaires.
Le sens du produit vectoriel est imposé par la règle de la main droite :
– index → direction de \( \vec{u} \)
– majeur → direction de \( \vec{v} \)
– pouce → direction de \( \vec{u}\wedge\vec{v} \)
Pour \( (1,0,0) \) et \( (0,1,0) \), le pouce pointe vers l’axe \( +z \).
Donc le résultat est bien \( (0,0,1) \).
Q7 – Norme du produit vectoriel et aire d’un parallelogramme
On sait que :
\[
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta.
\]
Que représente géométriquement \( \|\vec{u}\wedge\vec{v}\| \) ?
Le périmètre du parallélogramme construit sur \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).
L’aire du parallélogramme construit sur \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).
Le volume d’un cube de côté \( \|\vec{u}\| \).
La somme \( \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| \).
La norme du produit vectoriel est :
\[
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|
= \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta.
\]
Cette expression correspond exactement à :
\[
\text{aire du parallélogramme construit sur }\vec{u}\text{ et }\vec{v}.
\]
👉 La norme = aire du parallélogramme.
✔ Bonne réponse : b.
Q8 – Aire d’un triangle
On considère deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) qui définissent un triangle au point d’origine.
Quelle est l’expression correcte de l’aire de ce triangle ?
\( \dfrac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| \)
\( \|\vec{u}\wedge\vec{v}\| \)
\( \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| \)
\( \dfrac{1}{2} \vec{u}\cdot\vec{v} \)
Aire du parallélogramme :
\[
\mathcal{A}_{\text{para}}
= \|\vec{u}\wedge\vec{v}\|.
\]
Le triangle formé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) représente la moitié :
\[
\mathcal{A}_{\triangle}
= \frac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|.
\]
👉 Aire du triangle = ½ × norme du produit vectoriel.
✔ Bonne réponse : a.
Exercice final – Analyse biomécanique d’un geste sportif
Un sprinteur sort des blocs.
Son centre de masse (CM) subit deux forces principales :
la force de poussée du bloc : \( \vec{F}_p = (580,\ 120,\ 0) \) N
la réaction du sol au moment où le pied touche : \( \vec{R} = (750,\ 350,\ 0) \) N
Le CM prend la vitesse initiale :
\( \vec{v}_0 = (7.5,\ 2.0,\ 0) \) m·s⁻¹
(fortement orientée vers l’avant).
QF1 – Intensité de la poussée
Calcule la norme de la force de poussée \( \vec{F}_p \).
On calcule :
\[
\|\vec{F}_p\| = \sqrt{580^2 + 120^2}
= \sqrt{336400 + 14400}
= \sqrt{350800} \approx 592\ \text{N}.
\]
👉 L’athlète exerce environ 592 N.
QF2 – Efficacité de la poussée
On calcule la partie de la force alignée avec la direction du mouvement initial.
Que vaut le produit scalaire \( \vec{F}_p \cdot \vec{v}_0 \) ?
\[
\vec{F}_p\cdot\vec{v}_0
= 580\times 7.5 + 120\times 2
= 4350 + 240
= 4590.
\]
👉 Plus le produit scalaire est élevé, plus la force contribue à accélérer l'athlète vers l’avant.
QF3 – Part utile / part perdue
La composante utile est la projection de la force sur la direction de la vitesse.
Quelle expression permet de calculer **la part utile** de la poussée ?
La projection d’un vecteur \( \vec{F} \) sur une direction \( \vec{v} \) vaut :
\[
\text{Proj}_{\vec{v}}(\vec{F}) =
\frac{\vec{F}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
\]
👉 C’est donc la réponse **a**.
QF4 – Stabilité du sprinteur (moment de force)
Lors d’un départ penché, la réaction du sol
\( \vec{R} = (750,350,0) \) s’applique à 10 cm du centre de masse.
Le bras de levier est \( \vec{d} = (0,\ 0.1,\ 0) \) m.
Calcule le moment :
\[
\vec{M} = \vec{d} \wedge \vec{R}.
\]
\( \vec{M} = (\)
,
,
\( ) \)
On calcule :
\[
\vec{M} =
\begin{pmatrix}
0 \\ 0.1 \\ 0
\end{pmatrix}
\wedge
\begin{pmatrix}
750 \\ 350 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.1\times 0 - 0\times 350 \\
0\times 750 - 0\times 0 \\
0\times 350 - 0.1\times 750
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ -75
\end{pmatrix}.
\]
👉 Ce moment tend à faire pivoter le sprinteur vers l’avant :
**c’est ce qui justifie l’inclinaison du tronc au départ**.
Conclusion biomécanique – Départ du sprinteur
▼
🔎 Résumé des grandeurs calculées
Norme de la poussée :
\[
\|\vec{F}_p\| \approx 592\ \text{N}
\]
Efficacité de la poussée (alignement force–mouvement) :
\[
\vec{F}_p\cdot\vec{v}_0 = 4590
\]
Moment de force appliqué au CM :
\[
\vec{M} = (35,\ 0,\ -75)
\]
🏃♂️💨 Comprendre ce que cela révèle sur le geste sportif
Lors du départ, le sprinteur doit produire une force forte,
orientée vers l’avant et stabilisée par la posture.
Les calculs montrent précisément comment ces trois aspects se coordonnent.
1️⃣ Une poussée très intense (≈600 N)
La norme de la force indique que l’athlète produit une poussée comparable à
celle mesurée chez des sprinteurs de haut niveau.
Cette force est essentielle pour créer l’accélération initiale.
2️⃣ Une poussée bien orientée grâce au produit scalaire
Le produit scalaire
\[
\vec{F}_p\cdot\vec{v}_0 = 4590
\]
est très élevé : cela indique que la force du sprinteur est
fortement alignée avec la direction de déplacement.
Autrement dit :
✔ très peu d’énergie est perdue vers le haut,
✔ la quasi-totalité sert à accélérer.
3️⃣ La projection montre la part réellement “utile”
La projection
\[
\frac{\vec{F}_p\cdot\vec{v}_0}{\|\vec{v}_0\|}
\]
représente exactement la force transformée en accélération horizontale.
C’est cette quantité qui détermine la qualité du départ.
4️⃣ Stabilité : le moment de force explique l’inclinaison
Le moment calculé
\[
\vec{M} = (0,\ 0,\ -75)
\]
correspond à une rotation autour de l’axe \(z\).
Dans le repère usuel (\(+x\) vers l’avant, \(+y\) vers le haut), un moment \(M_z<0\) indique une rotation horaire (règle de la main droite),
ce qui revient à faire basculer le tronc vers \(+x\), donc vers l’avant.
Ce moment :
✔ limite un redressement trop précoce,
✔ aide à conserver l’inclinaison du tronc au départ,
✔ améliore la transmission de la force vers l’avant.
📌 Conclusion générale (à lire à l’oral en 15 secondes)
Ces calculs montrent que le départ d’un sprinteur n’est pas seulement “pousser fort”,
mais pousser dans la bonne direction,
transmettre efficacement la force
et contrôler la posture.
Grâce aux outils vectoriels, on peut quantifier chacune de ces composantes :
intensité, orientation, projection, stabilité.
👉 Les mathématiques vectorielles permettent donc de comprendre, analyser
et optimiser un geste sportif explosif comme le départ de sprint.
