Un peu de polaire, puis un tour de manège… C’est parti !
3.1 – Un peu de polaire
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Modélisation de la trajectoire en coordonnées polaires
Choisis le type de mouvement, règle les paramètres, puis déplace le curseur de temps. Le point bleu suit la trajectoire dans le plan \((xOy)\).
✨ Pour démarrer en douceur – Compréhension visuelle
Avant d’attaquer les calculs, prends le temps d’observer la modélisation. Ces premières questions servent uniquement à comprendre visuellement ce que font les paramètres \(r\), \(\alpha\), \(\omega\) et le temps.
1) Forme de la trajectoire (mode cercle)
Quand le mode « cercle » est sélectionné, la trajectoire du point bleu est :
Un cercle
Une droite
Une spirale
Si le rayon est constant → trajectoire circulaire.
2) Forme de la trajectoire (mode spirale)
Quand le mode « spirale » est sélectionné, le point décrit :
Une spirale
Un cercle
Une droite
Le rayon augmente avec le temps → spirale.
3) Effet de la vitesse angulaire ω
Quand tu augmentes la vitesse angulaire \(\omega\), le point bleu tourne :
Plus vite
Moins vite
À la même vitesse
\(\omega\) contrôle directement la vitesse de rotation → plus grand \(\omega\), rotation plus rapide.
🧭 Pourquoi utiliser des coordonnées polaires ?
Beaucoup de mouvements humains sont naturellement en rotation autour d’une articulation :
- rotation de l’avant-bras autour du coude,
- rotation de la jambe autour de la hanche,
- rotation de la tête autour de l’axe cervical…
🔹 La direction est donnée par \(\theta(t)\) 🔹 La distance à l’articulation est \(r(t)\) 🔹 Les vitesses/accélérations sont directement liées à \(\dot r\), \(\dot\theta\)
C’est pour ça qu’on apprend les coordonnées polaires : elles sont faites pour les mouvements articulaires humains.
1. Mouvement dans le plan \((xOy)\) en coordonnées polaires
Une particule ponctuelle \(M\) est repérée par : \[ \overrightarrow{OM} = r\,\vec e_r . \]
a) Cas \(r=\alpha\) constant
Quelle est la trajectoire de la particule si \(r=\alpha=\text{cste}\) ? Déduis les vecteurs vitesse et accélération. Conclus lorsque le mouvement est uniforme (\(\omega=\text{cste}\)).
Une droite
Un cercle
Une spirale
Trajectoire : cercle de rayon \(\alpha\).
Vitesse : \(\vec v = \alpha\omega\,\vec e_\theta\).
Accélération : \(\vec a = -\alpha\omega^2\,\vec e_r\) si \(\omega\) est constant.
1.b) Cas \( r=\alpha t \), \(\omega=\text{cste}\)
Complète la description de la trajectoire.
Une droite
Une spirale
Un cercle
\(r(t)=\alpha t\), \(\theta(t)=\omega t\) → la particule suit une spirale d’Archimède.
2. Mouvement en coordonnées cylindriques
On prend maintenant : \[ \overrightarrow{OM} = \alpha\,\vec e_r + h\theta\,\vec e_z. \]
2.a) Forme de la trajectoire
Déduis la nature du mouvement.
Cercle
Hélice
Droite
Rotation circulaire en \(xy\) + montée en \(z\) → hélice.
2.b) Vitesse et accélération
Idée générale :
En coordonnées cylindriques, le mouvement se fait dans trois directions :
- radiale : vers/loin du centre (\(\vec e_r\))
- tangentielle : autour de l’axe (\(\vec e_\theta\))
- verticale : en hauteur (\(\vec e_z\))
La vitesse est donc la somme de trois “vitesses” dans ces directions, et l’accélération pareil.
1) Vitesse dans le cas du sujet
On a :
- \(r = \alpha\) = constant → pas de mouvement radial
- Le point tourne : \(\dot\theta\)
- Le point monte : \(z = h\theta\)
→ Donc la vitesse est :
une vitesse tangentielle + une vitesse verticale
Formellement : \[ \vec v = \alpha\dot\theta\,\vec e_\theta + h\dot\theta\,\vec e_z. \]
✔ Rien en \(\vec e_r\) (pas de changement de rayon)
2) Accélération dans le cas du sujet
Deux choses peuvent accélérer le point :
- le fait de tourner → accélération centripète
- le fait d’accélérer en rotation → accélération tangentielle
Et comme \(z\) dépend de \(\theta\), on a aussi une accélération verticale quand \(\ddot\theta \neq 0\).
Formellement :
\[ \vec a = -\alpha\dot\theta^2\,\vec e_r + \alpha\ddot\theta\,\vec e_\theta + h\ddot\theta\,\vec e_z. \]
Interprétation simple :
- −αω² eᵣ = on est tiré vers l’axe (centripète)
- α \(\ddot\theta\) eᶿ = on accélère ou freine en rotation
- h \(\ddot\theta\) e_z = on monte/descend plus vite
2.c) Angle du vecteur vitesse avec le plan (xOy)
Idée simple :
La vitesse a deux morceaux :
- un morceau horizontal (dans le plan) : \(\alpha\omega\)
- un morceau vertical : \(h\omega\)
L’angle \(\varphi\) est simplement l’angle entre la vitesse totale et le plan horizontal.
\[ \tan\varphi = \frac{\text{vitesse verticale}}{\text{vitesse horizontale}} = \frac{h\omega}{\alpha\omega} = \frac{h}{\alpha}. \]
Conclusion : l’inclinaison de la vitesse dépend uniquement du rapport \(h / \alpha\). Si tu doubles la pente de l’hélice (h), tu doubles l’angle. Si le rayon est plus grand (α), l’angle est plus petit.
🏋️♂️ Application biomécanique : rotation de l’avant-bras
Lors d’un lancer, l’avant-bras pivote autour du coude. Ce mouvement circulaire peut être modélisé par :
- r = 0,35 m (distance coude → poignet)
- \(\omega = 9\) rad/s mesuré par capteur IMU
Ce modèle permettra de relier : 🔹 performance du geste (vitesse de la main) 🔹 contraintes articulaires (accélération centripète)
1) Vitesse linéaire du poignet
Quand l’avant-bras tourne, la main se déplace sur un arc de cercle. La formule de vitesse est :
\[ v = r \, \omega \]
Ici : – \(r = 0{,}35\,\text{m}\) (distance coude → poignet) – \(\omega = 9\,\text{rad/s}\)
\[ v = 0{,}35 \times 9 = 3{,}15\ \text{m/s} \]
👉 Le poignet se déplace déjà à 3 m/s. Lors d’un lancer réel, ce chiffre peut dépasser 15 m/s.
2) Accélération centripète
Quand un segment tourne, un muscle/articulation doit tirer vers l’intérieur pour maintenir la rotation. C’est l’accélération centripète :
\[ a_c = r\,\omega^2 \]
Avec les valeurs du problème : – \(r = 0{,}35\,\text{m}\) – \(\omega = 9\,\text{rad/s}\)
\[ a_c = 0{,}35 \times 9^2 = 0{,}35 \times 81 = 28{,}35\ \text{m/s}^2 \]
Cela représente environ 3 g (trois fois le poids du corps !)
👉 L’articulation du coude doit fournir un effort énorme pour maintenir la trajectoire. C’est pour cela que les lanceurs haut niveau ont souvent des blessures ligamentaires.
3) Intérêt biomécanique
Ce modèle sert à :
Analyser la performance
Évaluer les contraintes articulaires
Les deux
Les coordonnées polaires sont parfaites pour relier vitesse du geste et charge mécanique sur l’articulation.
3.2 – Un tour de manège
Modélisation : déplacement du propriétaire
Vue de dessus : le disque est le manège. Le rayon épais est l’axe \(\vec e_{x'}\). Le point bleu représente le propriétaire \(M\) qui marche sur la plate-forme en rotation.
✨ On commence simple – Observation du manège
1) Autour de quoi tourne le manège ?
Du centre O
Du bord
Il ne tourne pas
La plateforme tourne autour de son centre.
2) Effet de l’accélération radiale
Si on augmente l’accélération \(a\), le point bleu :
Va plus vite vers l’extérieur
Va moins vite
Reste au centre
L’accélération pousse M vers l’extérieur → plus grande → plus rapide.
3) Forme de la trajectoire dans le référentiel fixe
Dans le repère du sol, la trajectoire ressemble à :
Une spirale
Un cercle
Une droite
M avance et tourne → trajectoire spirale.
📘 Rappels théoriques : manège = mouvement tournant + déplacement relatif
On travaille avec deux référentiels :
- le sol : \(\mathcal R = (O, \vec e_x, \vec e_y)\)
- la plateforme : \(\mathcal R' = (O, \vec e_{x'}, \vec e_{y'})\)
Le propriétaire marche dans \(\mathcal R'\) le long du rayon → sa position : \[ \overrightarrow{OM}(t) = x'(t)\,\vec e_{x'}. \]
1) Équations du mouvement dans \(\mathcal R'\)
Départ du repos + accélération constante : \[ x'(t) = \frac12 a t^2,\qquad y'(t)=0. \]
2) Passage dans le repère fixe \(\mathcal R\)
Le repère tournant est lié à une rotation d’angle \(\theta(t)=\omega t\). Donc : \[ x(t)=x'(t)\cos(\omega t),\qquad y(t)=x'(t)\sin(\omega t). \]
3) Vitesse absolue
Deux contributions indépendantes :
- vitesse relative : \(v_{\text{rel}} = a t\)
- vitesse due au manège : \(v_{\text{rot}} = r\omega\)
🎡 Cas pratique – Efforts réellement ressentis
On étudie un vrai opérateur de manège, pour comprendre pourquoi ramasser un ticket en périphérie est physiquement très difficile.
Données :
- \(\omega = 1.4\ \text{rad/s}\)
- \(a = 1.5\ \text{m/s}^2\)
- \(m = 75\ \text{kg}\)
- \(t = 2\ \text{s}\)
1) Distance parcourue dans \(\mathcal R'\)
On cherche la position du propriétaire dans le repère du manège.
Dans \(\mathcal R'\), il marche en ligne droite le long d’un rayon, avec une accélération constante \(a\). Le mouvement est donc un MRUA (mouvement rectiligne uniformément accéléré) partant du repos.
On utilise la formule classique :
\[ x'(t) = \frac12 a t^2 \]
Substitution numérique :
\[ x'(t) = \frac12 \times 1.5 \times (2)^2 \] \[ = 0.75 \times 4 = 3.0\ \text{m} \]
✔ Le propriétaire s’est donc déplacé de 3 mètres vers l’extérieur dans le repère du manège.
2) Position absolue
Objectif : exprimer la position réelle (vue depuis le sol).
Le manège tourne : le repère \(\mathcal R'\) effectue une rotation d’angle \(\theta = \omega t\) autour de \(\vec e_z\).
On commence donc par calculer cet angle :
\[ \theta = \omega t = 1.4 \times 2 = 2.8\ \text{rad} \]
Étape suivante : projection du point dans le repère fixe.
Les formules de rotation sont : \[ x = x' \cos(\theta),\qquad y = x' \sin(\theta) \]
On substitue \(x' = 3\ \text{m}\) :
\[ x = 3\cos(2.8) = -2.84\ \text{m} \] \[ y = 3\sin(2.8) = 0.94\ \text{m} \]
✔ Le propriétaire se trouve donc déporté en arrière car la plateforme tourne pendant sa marche.
✔ Sa trajectoire absolue est une spirale qui s’enroule vers l’extérieur.
3) Vitesse absolue réelle
Objectif : calculer la vitesse réellement subie par le propriétaire, vue du sol.
Il y a deux contributions :
- la vitesse de marche propre dans \(\mathcal R'\)
- la vitesse due à la rotation du manège
1) Vitesse relative (celle qu’il produit en marchant)
Il est en MRUA donc :
\[ v_{\text{rel}} = a t = 1.5 \times 2 = 3\ \text{m/s} \]
C’est la vitesse dans le repère du manège.
2) Vitesse de rotation
La plateforme entraîne le point :
\[ v_{\text{rot}} = r\omega = 3 \times 1.4 = 4.2\ \text{m/s} \]
Important : cette vitesse est perpendiculaire à la précédente.
3) Vitesse absolue
Comme les deux vitesses sont orthogonales :
\[ v_{\text{abs}} = \sqrt{v_{\text{rel}}^2 + v_{\text{rot}}^2} \]
\[ v_{\text{abs}} = \sqrt{3^2 + 4.2^2} = \sqrt{9 + 17.64} = 5.16\ \text{m/s} \]
✔ Il pense marcher “tranquillement”, mais il se déplace en réalité à plus de 5 m/s (~18 km/h !) par rapport au sol.
4) Force centripète ressentie
Objectif : déterminer la force que doit fournir le propriétaire pour rester sur la trajectoire circulaire imposée par le manège.
La formule de la force centripète est : \[ F_c = m r \omega^2 \]
On remplace :
\[ F_c = 75 \times 3 \times 1.4^2 \] \[ = 75 \times 3 \times 1.96 = 441\ \text{N} \]
✔ C’est la force minimale nécessaire pour maintenir sa trajectoire circulaire.
Convertissons en “équivalent poids” pour mieux comprendre : \[ \frac{441}{9.81} \approx 45\ \text{kg} \]
👉 Cela signifie qu’il doit lutter comme s’il portait un haltère de 45 kg en continu.
✔ Voilà pourquoi marcher dans un manège en rotation est extrêmement fatigant : même une marche simple devient mécaniquement très coûteuse.