Étape 1 – Isoler \(G\)

À partir de \(\displaystyle F = G\frac{mm'}{r^2}\), on isole \(G\) : \[ G = F \frac{r^2}{mm'}. \]

Étape 2 – Remplacer par les dimensions

• \([F] = M L T^{-2}\)
• \([r^2] = L^2\)
• \([m] = [m'] = M\)

On remplace dans l’expression de \(G\) :

\[ [G] = \frac{(M L T^{-2}) \cdot L^2}{M \cdot M}. \]

Étape 3 – Simplifier les puissances

Au numérateur : \(M L T^{-2} \cdot L^2 = M L^3 T^{-2}\). Au dénominateur : \(M \cdot M = M^2\).

Donc : \[ [G] = \frac{M L^3 T^{-2}}{M^2} = M^{-1} L^3 T^{-2}. \]

Conclusion : la constante de gravitation a pour dimension \[ [G] = M^{-1} L^3 T^{-2}. \] 👉 On vérifie ainsi que la formule est “cohérente” du point de vue des dimensions.

Étape 1 – Idée générale

On veut une expression construite avec \(\eta\), \(r\) et \(v\) qui ait la même dimension que \([F]\). On tente d’abord le produit le plus simple : \(\eta r v\).

Étape 2 – Calcul des dimensions de \(\eta r v\)

\[ [\eta r v] = (M L^{-1} T^{-1}) \cdot (L) \cdot (L T^{-1}). \]

On additionne les exposants pour chaque lettre :

• Pour \(M\) : \(M^1\)
• Pour \(L\) : \(-1 + 1 + 1 = 1\) → \(L^1\)
• Pour \(T\) : \(-1 - 1 = -2\) → \(T^{-2}\)

Donc : \[ [\eta r v] = M L T^{-2}. \]

C’est exactement la dimension d’une force.

Conclusion : par analyse dimensionnelle, une forme possible est : \[ F_v = k\,\eta r v, \] où \(k\) est un nombre sans dimension (pour la vraie loi de Stokes, \(k = 6\pi\)).

✔ En biomécanique, ce type de modèle sert par exemple à estimer les frottements de l’eau sur un membre qui se déplace (natation, kayak, etc.).

Étape 1 – Forme générale

On suppose : \[ T \propto L^a g^b. \] En dimensions : \[ [T] = [L]^a [g]^b = L^a (L T^{-2})^b = L^{a+b} T^{-2b}. \]

Étape 2 – Identification des exposants

On doit avoir : \[ L^{a+b} T^{-2b} = T^1 = L^0 T^1. \]

• Pour \(L\) : \(a + b = 0\) → \(a = -b\).
• Pour \(T\) : \(-2b = 1\) → \(b = -\frac12\).

Donc \(a = -b = \frac12\).

Étape 3 – Forme de la période

On obtient : \[ T \propto L^{1/2} g^{-1/2} = \sqrt{\frac{L}{g}}. \]

La vraie formule (plus précise) est : \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}. \] 👉 L’analyse dimensionnelle ne donne pas la constante \(2\pi\), mais elle retrouve bien la dépendance en \(L\) et \(g\).

Étape 1 – Valeur du poids

Le module du poids est \(P = mg\).

Étape 2 – Choix des axes

On prend :

• un axe parallèle au plan (vers le bas de la pente),
• un axe perpendiculaire au plan (vers l’extérieur du plan).

Étape 3 – Projection du poids

Par trigonométrie, on trouve : \[ P_\parallel = mg\sin\alpha, \] \[ P_\perp = mg\cos\alpha. \]

Interprétation :

• \(P_\parallel\) “tire” le bloc vers le bas de la pente (tendance au glissement).
• \(P_\perp\) est compensée par la réaction du plan → pas de mouvement perpendiculaire au plan.

Étape 1 – Poids total

\[ P = mg = 70 \times 9.81 \approx 686.7\ \text{N}. \]

Étape 2 – Composante parallèle

\[ P_\parallel = P\sin\alpha = 686.7 \sin 25^\circ. \]

\(\sin 25^\circ \approx 0.423\) donc : \[ P_\parallel \approx 686.7 \times 0.423 \approx 290\ \text{N}. \] 👉 C’est la force qui “fait glisser” le bloc.

Étape 3 – Composante perpendiculaire

\[ P_\perp = P\cos\alpha = 686.7 \cos 25^\circ. \]

\(\cos 25^\circ \approx 0.906\) donc : \[ P_\perp \approx 686.7 \times 0.906 \approx 622\ \text{N}. \] 👉 C’est la force avec laquelle le bloc “appuie” sur le plan.

Étape 4 – Réaction normale

Sans frottement et sans mouvement perpendiculaire au plan : \[ R = P_\perp \approx 622\ \text{N}. \]

✔ Le bloc appuie sur le plan avec ~622 N, et une force d’environ 290 N le tire vers le bas de la pente.

Étape 1 – Condition de mise en mouvement

Le bloc commence à glisser si la composante parallèle du poids dépasse le frottement maximal : \[ P_\parallel > F_{f,\max}. \] Or : \[ P_\parallel = mg\sin\alpha,\quad R = mg\cos\alpha,\quad F_{f,\max} = \mu R = \mu mg\cos\alpha. \] Donc : \[ mg\sin\alpha > \mu mg\cos\alpha. \]

Étape 2 – Simplification et condition sur \(\alpha\)

On peut simplifier par \(mg > 0\) : \[ \sin\alpha > \mu \cos\alpha. \] En divisant par \(\cos\alpha > 0\) (pour un angle entre 0° et 90°) : \[ \tan\alpha > \mu. \]

Conclusion :

Le bloc commence à glisser si \[ \tan\alpha > \mu. \] 👉 Plus le plan est incliné (α grand), plus la probabilité de glissement augmente. 👉 Plus le frottement est fort (μ grand), plus il résiste au glissement.

Étape 1 – Orientation de \(\vec R\)

Le starting-block est incliné d’un angle \(\alpha\) par rapport à l’horizontale. La réaction \(\vec R\) est perpendiculaire au plan, donc elle fait un angle \(\alpha\) avec la verticale.

Étape 2 – Projection sur les axes (x horizontal, y vertical)

On obtient le “triangle” suivant pour les composantes de \(\vec R\) : \[ R_x = R \sin\alpha,\qquad R_y = R \cos\alpha. \]

Interprétation biomécanique :

• \(R_x\) : composante horizontale → propulsion vers l’avant.
• \(R_y\) : composante verticale → lutte contre le poids, stabilisation.

Étape 1 – Poids de la masse modélisée

\[ mg = 40 \times 9.81 \approx 392\ \text{N}. \]

Étape 2 – Lien entre \(R_y\) et \(R\)

On suppose \(R_y \approx mg\), et on sait : \[ R_y = R\cos\alpha. \] Donc : \[ R = \frac{mg}{\cos\alpha}. \]

Avec \(\alpha = 30^\circ\), \(\cos 30^\circ \approx 0.866\) :

\[ R \approx \frac{392}{0.866} \approx 453\ \text{N}. \] 👉 La réaction sur la jambe est d’environ 450 N.

Étape 3 – Composante horizontale de propulsion

\(\sin 30^\circ = 0.5\), donc : \[ R_x = R\sin\alpha \approx 453 \times 0.5 \approx 226\ \text{N}. \]

Bilan biomécanique :

• La jambe pousse avec ~450 N sur le block.
• Environ 220 N servent directement à la propulsion horizontale.

👉 Orienter la force “dans la bonne direction” est crucial pour transformer l’effort musculaire en vitesse de départ.

Étape 1 – 2^e loi de Newton sur l’axe horizontal

Sur l’axe horizontal, la principale force de propulsion vers l’avant est \(R_x\). On néglige les autres forces horizontales : \[ \sum F_x \approx R_x = M a_x. \]

Étape 2 – Calcul de l’accélération

Avec \(R_x \approx 226\ \text{N}\) et \(M = 75\ \text{kg}\) : \[ a_x \approx \frac{R_x}{M} \approx \frac{226}{75} \approx 3.0\ \text{m/s}^2. \]

Interprétation sportive :

• Une accélération de l’ordre de 3 m/s² est déjà significative.
• Des sprinteurs de haut niveau peuvent atteindre des valeurs encore plus grandes grâce à une coordination optimale et à une force musculaire importante.