TD6 – Travail, énergie et puissance
Applications biomécaniques : absorption d’un choc à l’atterrissage, puissance moyenne lors de pompes, et modélisation mécanique d’un fauteuil roulant électrique en montée.
5.1 – Quick Fire
Objectif : relier énergie potentielle de pesanteur, énergie élastique, travail mécanique et puissance à des situations concrètes du corps humain.
Idée générale
Dans les deux exercices suivants, on utilise une même logique :
• identifier ce qui se déplace,
• repérer l’énergie ou le travail en jeu,
• traduire la situation par une relation simple.
Dans les deux exercices suivants, on utilise une même logique :
• identifier ce qui se déplace,
• repérer l’énergie ou le travail en jeu,
• traduire la situation par une relation simple.
5.1 A – Patient qui amortit une chute
Un patient de masse \(m = 70\) kg saute et tombe d’une hauteur \(h = 0{,}5\) m. À l’atterrissage, il amortit la chute sur sa jambe, modélisée comme un ressort de raideur \(k = 10^4\ \text{N/m}\).
On suppose \(x \ll h\) et on néglige les frottements.
Modèle énergétique :
L’énergie potentielle perdue pendant la chute est stockée sous forme d’énergie élastique : \[ mgh \approx \frac12 kx^2 \]
L’énergie potentielle perdue pendant la chute est stockée sous forme d’énergie élastique : \[ mgh \approx \frac12 kx^2 \]
Énergie de chute
0 J
Compression \(x\)
0 m
1) Quelle relation faut-il utiliser en priorité ?
La conservation de l’énergie
La 2e loi de Newton uniquement
Une formule de vitesse moyenne
Ici, la bonne idée est de relier l’énergie potentielle de pesanteur à l’énergie élastique :
\[
mgh \approx \frac12kx^2
\]
2) Calculer la compression maximale \(x\)
\[
mgh = \frac12 kx^2
\]
\[
70 \times 9.81 \times 0.5 = \frac12 \times 10^4 \times x^2
\]
\[
343.35 = 5000x^2
\]
\[
x^2 = 0.06867
\]
\[
x \approx 0.262\ \text{m}
\]
Donc :
\[
\boxed{x \approx 0.26\ \text{m}}
\]
5.1 B – Puissance moyenne lors de pompes
Un sportif de masse \(m = 75\) kg exécute 20 pompes en 1 minute.
Le centre de gravité est situé aux \(2/3\) de la distance entre les pieds et les épaules, et les épaules se déplacent verticalement de \(h = 30\) cm à chaque pompe.
Modèle :
Le centre de masse se déplace de \[ \Delta z = \frac23 h \] Le travail par pompe vaut alors : \[ W_1 = mg\Delta z \] puis : \[ P = \frac{W_{\text{total}}}{t} \]
Le centre de masse se déplace de \[ \Delta z = \frac23 h \] Le travail par pompe vaut alors : \[ W_1 = mg\Delta z \] puis : \[ P = \frac{W_{\text{total}}}{t} \]
Déplacement du centre de masse
0 m
Travail par pompe
0 J
Travail total
0 J
Puissance moyenne
0 W
3) Le centre de gravité monte d’environ :
\(0.10\) m
\(0.20\) m
\(0.30\) m
\[
\Delta z = \frac23 \times 0.30 = 0.20\ \text{m}
\]
4) Calculer la puissance moyenne
\[
\Delta z = \frac23 \times 0.30 = 0.20\ \text{m}
\]
\[
W_1 = mg\Delta z = 75 \times 9.81 \times 0.20 \approx 147.15\ \text{J}
\]
\[
W_{\text{tot}} = 20 \times 147.15 = 2943\ \text{J}
\]
\[
P = \frac{2943}{60} \approx 49.1\ \text{W}
\]
Donc :
\[
\boxed{P \approx 49\ \text{W}}
\]
5.2 – Fauteuil roulant électrique
Objectif : modéliser les forces appliquées à un fauteuil roulant motorisé qui remonte une pente, puis déterminer la force motrice, l’énergie fournie et la puissance nécessaire.
Une personne de masse \(75\) kg est assise dans un fauteuil roulant motorisé de masse \(10\) kg. Le système remonte une rue de pente \(5\%\), soit un angle \(\alpha = 2.86^\circ\). Les frottements sont négligés.
Sur l’axe parallèle à la pente :
\[
F - mg\sin\alpha = ma
\]
• si le mouvement est uniforme :
\[
a = 0 \quad \Rightarrow \quad F = mg\sin\alpha
\]
• si le système accélère :
\[
F = mg\sin\alpha + ma
\]
Poids total
0 N
\(mg\sin\alpha\)
0 N
Force moteur uniforme
0 N
Force moteur accéléré
0 N
Énergie sur \(d\)
0 J
Puissance à vitesse constante
0 W
1) Quelles sont les forces extérieures appliquées au fauteuil ?
Les forces extérieures sont :
• le poids \(\vec P\)
• la réaction normale du sol \(\vec R\)
• la force motrice \(\vec F\), parallèle à la pente
• le poids \(\vec P\)
• la réaction normale du sol \(\vec R\)
• la force motrice \(\vec F\), parallèle à la pente
2) Quelles forces travaillent et lesquelles ne travaillent pas ?
La force motrice et la composante du poids travaillent ; la réaction normale ne travaille pas
Seule la réaction normale travaille
Toutes les forces travaillent
La force motrice travaille car elle est parallèle au déplacement.
La composante du poids parallèle à la pente travaille aussi.
La réaction normale ne travaille pas car elle est perpendiculaire au déplacement.
3) Déterminer la force motrice dans les deux cas
Masse totale :
\[
m = 75 + 10 = 85\ \text{kg}
\]
Mouvement uniforme :
\[
F = mg\sin\alpha
\]
\[
F = 85 \times 9.81 \times \sin(2.86^\circ) \approx 41.6\ \text{N}
\]
Avec accélération \(a = 0.2\ \text{m/s}^2\) :
\[
F = mg\sin\alpha + ma
\]
\[
F \approx 41.6 + 85 \times 0.2 = 58.6\ \text{N}
\]
Donc :
\[
\boxed{F_{\text{uniforme}} \approx 41.6\ \text{N}}
\qquad
\boxed{F_{\text{accéléré}} \approx 58.6\ \text{N}}
\]
4) Calculer l’énergie fournie sur 200 m à vitesse constante puis la puissance nécessaire
À vitesse constante, on utilise :
\[
F \approx 41.6\ \text{N}
\]
Énergie fournie sur \(d = 200\) m :
\[
E = Fd = 41.6 \times 200 \approx 8320\ \text{J}
\]
Puissance nécessaire à \(v = 3\ \text{m/s}\) :
\[
P = Fv = 41.6 \times 3 \approx 124.8\ \text{W}
\]
Donc :
\[
\boxed{E \approx 8.32 \times 10^3\ \text{J}}
\qquad
\boxed{P \approx 125\ \text{W}}
\]