TD7 – Dynamique et énergie élastique

6.1 – Muscles et déplacement

Objectif : modéliser deux masses reliées par une corde inextensible passant sur une poulie idéale, puis déterminer l’accélération et la distance parcourue.

Deux muscles de masses \(m_A = 2\) kg et \(m_B = 3\) kg sont reliés par un tendon considéré comme une corde inextensible de masse négligeable glissant sans frottement sur l’articulation (poulie) de masse négligeable.

Le coefficient de frottement entre le muscle A et l’os vaut \(\mu = 1.15\). Les deux muscles sont initialement au repos.

Si le muscle B se relâche, quelle distance le muscle A aura-t-il parcouru après \(2\) secondes ?

Modélisation :
On suppose que B descend et que A monte.

Sur A : \[ T - m_Ag - f = m_Aa \] avec \[ f = \mu m_A g \] Sur B : \[ m_Bg - T = m_Ba \] D’où : \[ a = \frac{m_Bg - m_Ag - \mu m_A g}{m_A + m_B} \]

Masse \(m_A\) : 2.0 kg

Masse \(m_B\) : 3.0 kg

Coefficient de frottement \(\mu\) : 1.15

Durée \(t\) : 2.0 s

Force motrice \(m_Bg\) 0 N

Résistance sur A 0 N

Accélération 0 m/s²

Distance en \(t\) 0 m

1) Quelle loi permet d’obtenir l’accélération du système ?

La 2e loi de Newton

La 1re loi de Newton

Le théorème du travail

On applique la 2e loi de Newton à chacun des deux solides, puis on combine les équations.

2) Le frottement sur A intervient comment ?

Il s’oppose au mouvement de A

Il aide le mouvement de A

Il ne joue aucun rôle

Le frottement est une force de contact qui s’oppose au glissement relatif. Ici, il freine la montée de A.

3) Calculer la distance parcourue par A après 2 s

Données : \[ m_A = 2,\quad m_B = 3,\quad \mu = 1.15,\quad g = 9.81 \] Résistance sur A : \[ m_Ag + \mu m_A g = 2\times 9.81 + 1.15\times2\times9.81 \] \[ = 19.62 + 22.563 = 42.183\ \text{N} \] Force motrice de B : \[ m_Bg = 3\times 9.81 = 29.43\ \text{N} \] Donc : \[ a = \frac{29.43 - 42.183}{2+3} = \frac{-12.753}{5} \approx -2.55\ \text{m/s}^2 \] Le signe négatif indique que le sens supposé n’est pas le bon : avec ces valeurs, A ne peut pas monter dans ce modèle. Donc la distance parcourue par A dans ce sens est nulle. \[ \boxed{x = 0} \]

6.2 – Saut en hauteur paralympique T64

Objectif : relier l’énergie potentielle de pesanteur à l’énergie élastique stockée dans une lame carbone, puis en déduire la raideur et la vitesse de sortie.

Les athlètes de saut en hauteur paralympique en catégorie T64 utilisent des prothèses lame. La partie basse de la prothèse se comporte comme un ressort carbone.

On note \(l_0 = 40\) cm la longueur à vide du ressort, et \(l_m = 35\) cm sa longueur minimale comprimée. On suppose que le sauteur a une masse de \(65\) kg et que la prothèse quitte le sol lorsque le ressort retrouve \(l_0\).

Modèle énergétique :
Compression : \[ x = l_0 - l_m \] Énergie élastique stockée : \[ \frac12 kx^2 \] Hauteur atteinte : \[ mgh \] On identifie : \[ \frac12 kx^2 = mgh \] puis au départ du sol : \[ \frac12 mv^2 = mgh \Rightarrow v = \sqrt{2gh} \]

Masse \(m\) : 65.0 kg

Longueur à vide \(l_0\) : 0.40 m

Longueur minimale \(l_m\) : 0.35 m

Hauteur \(h\) : 2.00 m

Compression \(x\) 0 m

Énergie \(mgh\) 0 J

Raideur \(k\) 0 N/m

Vitesse au départ 0 m/s

1) Quelle relation permet de déterminer \(k\) ?

\(\frac12kx^2 = mgh\)

\(F = ma\)

\(p = mv\)

On relie l’énergie élastique de la lame à l’énergie potentielle gagnée : \[ \frac12 kx^2 = mgh \]

2) Déterminer la constante de raideur \(k\)

\[ x = l_0 - l_m = 0.40 - 0.35 = 0.05\ \text{m} \] \[ \frac12 kx^2 = mgh \Rightarrow k = \frac{2mgh}{x^2} \] \[ k = \frac{2 \times 65 \times 9.81 \times 2}{0.05^2} \] \[ k = \frac{2550.6}{0.0025} \approx 1.02 \times 10^6\ \text{N/m} \] Donc : \[ \boxed{k \approx 1.02 \times 10^6\ \text{N/m}} \]

3) Quelle est la vitesse du sauteur lorsque la prothèse quitte le sol ?

Au départ du sol : \[ \frac12 mv^2 = mgh \] La masse s’élimine : \[ \frac12 v^2 = gh \Rightarrow v = \sqrt{2gh} \] \[ v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2} = \sqrt{39.24} \approx 6.26\ \text{m/s} \] Donc : \[ \boxed{v \approx 6.3\ \text{m/s}} \]